112分科測驗數學甲多選第8題詳解

1. 令 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中 $r\ge0$。 由 De Moivre 定理，$z^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)$， 且 $\overline{z}=r(\cos\theta-i\sin\theta)$。 代入 $z^3=4i\overline{z}$： $$r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)=4i\cdot r(\cos\theta-i\sin\theta)=4r(\sin\theta+i\cos\theta).$$ 因為 $\sin\theta=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$、$\cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$， 所以 $4r(\sin\theta+i\cos\theta)=4r[\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)+i\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)]$。 2. 比較大小與輻角： $r^3=4r$，因為 $r\ge0$，所以 $r=0$ 或 $r=2$。 當 $r=2$ 時，$3\theta\equiv\frac{\pi}{2}-\theta\pmod{2\pi}$， 得 $4\theta\equiv\frac{\pi}{2}\pmod{2\pi}$， $\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$，其中 $k=0,1,2,3$。 3. 因此方程共有 $5$ 個複數解：$z=0$ 及四個滿足 $r=2$、$\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$（$k=0,1,2,3$）的非零解。 非零解的絕對值皆為 $2$，故 $(2)$ 正確；含 $z=0$ 共 $5$ 個解，故 $(3)$ 正確。 $z=2i$ 的輻角為 $\frac{\pi}{2}$，不滿足 $\theta$ 條件，故 $(1)$ 錯誤。 四個非零解乘積為 $16i\neq0$，故 $(4)$ 錯誤；平方和為 $0$，故 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)$。