由題意可知，$|\overset{\large\rightharpoonup}{u}| = \sqrt{a^2 + b^2} = 1$，且 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}| = \sqrt{c^2 + d^2 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$。 $(1)$ $z$ 軸正向的單位向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{k} = (0, 0, 1)$。設 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 與 $z$ 軸正向的夾角為 $\theta$： $$\cos \theta = \dfrac{\overset{\large\rightharpoonup}{v} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{k}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{v}| \cdot |\overset{\large\rightharpoonup}{k}|} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = 45^\circ.$$ 此值恆為定值，與 $c, d$ 的值無關。此選項正確。 $(2)$ 由柯西不等式： $$|\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}| = |ac + bd| \le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2} = 1 \cdot 1 = 1.$$ 故內積最大值為 $1$，此選項錯誤。 $(3)$ 設 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的夾角為 $\phi$： $$\cos \phi = \dfrac{\overset{\large\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{u}| \cdot |\overset{\large\rightharpoonup}{v}|} = \dfrac{ac + bd}{\sqrt{2}}.$$ 因為 $-1 \le ac + bd \le 1$，所以 $-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \le \cos \phi \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$。這表示 $45^\circ \le \phi \le 135^\circ$，故夾角最大值為 $135^\circ$，此選項正確。 $(4)$ 設 $a = \cos\alpha, b = \sin\alpha$，$c = \cos\beta, d = \sin\beta$，則： $$ad - bc = \cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta = \sin(\beta - \alpha).$$ 其最大值為 $1$，不可能為 $\dfrac{5}{4}$，此選項錯誤。 $(5)$ 外積為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v} = (b, -a, ad-bc)$，其長度的平方為： $$|\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2 = b^2 + (-a)^2 + (ad-bc)^2 = (a^2+b^2) + \sin^2(\beta-\alpha) = 1 + \sin^2(\beta-\alpha).$$ 最大值為 $2$，故長度最大值為 $\sqrt{2}$，此選項錯誤。 故正確選項為 $(1)(3)$。