102指考數學甲多選第9題詳解

由題意可知，$|\overset{\large\rightharpoonup}{u}|=\sqrt{a^2+b^2}=1$，且 $|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|=\sqrt{c^2+d^2+1}=\sqrt{2}$。 $(1)$ $z$ 軸正向的單位向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{k}=(0,0,1)$。設 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 與 $z$ 軸正向的夾角為 $\theta$，則 $$\cos\theta=\frac{\overset{\large\rightharpoonup}{v}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{k}}{|\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\,|\overset{\large\rightharpoonup}{k}|}=\frac{1}{\sqrt{2}},$$ 所以 $\theta=45^\circ$，與 $c,d$ 無關。此選項正確。 $(2)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{v}=ac+bd$。由柯西不等式，$|ac+bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=1$，故內積最大值為 $1$，不是 $2$。此選項錯誤。 $(3)$ 設 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}$ 的夾角為 $\phi$，則 $$\cos\phi=\frac{ac+bd}{\sqrt{2}}.$$ 因為 $-1\le ac+bd\le 1$，所以 $-\frac{1}{\sqrt{2}}\le \cos\phi\le \frac{1}{\sqrt{2}}$，故 $45^\circ\le \phi\le 135^\circ$，夾角最大值為 $135^\circ$。此選項正確。 $(4)$ 設 $a=\cos\alpha,b=\sin\alpha,c=\cos\beta,d=\sin\beta$，則 $$ad-bc=\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\sin(\beta-\alpha),$$ 其範圍為 $[-1,1]$，不可能為 $\frac{5}{4}$。此選項錯誤。 $(5)$ $\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}=(b,-a,ad-bc)$，故 $$|\overset{\large\rightharpoonup}{u}\times\overset{\large\rightharpoonup}{v}|^2=b^2+a^2+(ad-bc)^2=1+\sin^2(\beta-\alpha).$$ 最大值為 $2$，所以外積長度最大值為 $\sqrt{2}$，與頁圖選項相符。此選項正確。 故正確選項為 $(1)$(3)$(5)$。