因為直線 $CD$ 垂直平面 $ABC$，且直線 $AC$ 位於平面 $ABC$ 上，故 $CD \perp AC$。這表示 $\triangle ACD$ 為直角三角形，其中 $\angle ACD = 90^\circ$。由畢氏定理： $$AD^2 = AC^2 + CD^2.$$ 在平面三角形 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overline{AB} = \overline{BC} = 10$。因為 $\angle ABC$ 為銳角且 $\sin\angle ABC = \dfrac{4}{5}$，所以： $$\cos\angle ABC = \sqrt{1 - \left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5}.$$ 利用餘弦定理求 $AC^2$： $$AC^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2(\overline{AB})(\overline{BC})\cos\angle ABC = 10^2 + 10^2 - 2(10)(10)\left(\dfrac{3}{5}\right) = 100 + 100 - 120 = 80.$$ 將 $AC^2$ 與 $\overline{CD} = 10$ 代入畢氏定理中： $$AD^2 = 80 + 10^2 = 180 \implies AD = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$$ 故答案為 $6\sqrt{5}$。