102指考數學甲選填第11題詳解

圓方程式：$x^2 + y^2 + 4x - 7y + 10 = 0$。配方： $$(x + 2)^2 + \left(y - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$ 圓心 $O(-2, \frac{7}{2})$，半徑 $R = \frac{5}{2}$。 2. 求圓與 $y$ 軸的交點（$x = 0$）：$y^2 - 7y + 10 = 0 \implies (y-2)(y-5) = 0$，交點為 $(0, 2)$ 和 $(0, 5)$。 求圓與 $x$ 軸的交點（$y = 0$）：$x^2 + 4x + 10 = 0$，判別式 $16 - 40 < 0$，無交點。 因此圓完全在 $y > 0$ 的上半平面。 3. 直線 $y = m(x + 3)$ 恆通過點 $(-3, 0)$。因為圓的兩個交點需在不同象限，所以直線穿過圓時，一個交點在第一象限（$x > 0, y > 0$），一個交點在第二象限（$x < 0, y > 0$）。 這要求直線與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標在 $(0, 2)$ 和 $(0, 5)$ 之間。令 $x = 0$，得 $y = 3m$。因此 $2 < 3m < 5 \implies \frac{2}{3} < m < \frac{5}{3}$。 故 $a = \frac{2}{3}$、$b = \frac{5}{3}$。