$(1)$：$\log(9^{10})=10\log 9=20\log 3=9.542>9=\log(10^9)$，故 $10^9 < 9^{10}$，**錯**。 $(2)$：$\log(12^{10})=10\log 12=10(2\log 2+\log 3)=10(0.602+0.4771)=10.791<12$，故 $10^{12} > 12^{10}$，**錯**。 $(3)$：因 $11<10^{1.1}\approx 12.59$，故 $\log 11<1.1$，從而 $10\log 11<11$，即 $\log(11^{10})<11=\log(10^{11})$，故 $10^{11}>11^{10}$，**對**。 $(4)$：令 $f(x)=10^x-x^{10}$。$f(0)=1>0$，$f(-1)=10^{-1}-(-1)^{10}=0.1-1=-0.9<0$。由介值定理，$f$ 在 $(-1,0)$ 間有一零點，即方程式有一負根，**對**。 故選 $(3)(4)$。