93 指考數學甲第 1 題

Question

設方程式 $x^5=1$ 的五個根為 $1,\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4$，則 $(3-\omega_1)(3-\omega_2)(3-\omega_3)(3-\omega_4)=$

Accepted Answer

答案：$(3)$
由 $x^5-1=(x-1)(x-\omega_1)(x-\omega_2)(x-\omega_3)(x-\omega_4)$，故
$$(x-\omega_1)(x-\omega_2)(x-\omega_3)(x-\omega_4)=\dfrac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1$$
代入 $x=3$：
$$3^4+3^3+3^2+3+1=81+27+9+3+1=121$$
故選 $(3)$。