三、【題組】（22%）第1至3題
$\boxed{\text{題組}}$使用圓球和袋球作機率實驗。球只有黑白兩色，袋中裝有兩顆球，因此只有三種可能情況：把雙白球稱為狀態 $1$，一白球一黑球稱為狀態 $2$，雙黑球稱為狀態 $3$。對這袋球做如下操作：自袋中隨機移去一球後，再隨機移入一顆白球或黑球（移入白球或黑球的機率相等）。每次操作可能會改變袋中球的狀態。把從狀態 $j$ 經過一次操作後會變成狀態 $i$ 的機率記為 $p_{ij}$（例如上題的機率就是 $p_{32}$），由此構成一 $3\times 3$ 矩陣 $P$。把矩陣 $P$ 連續自乘 $k$ 次後的矩陣記為 $P^k$。已知矩陣 $P^k$ 中 $(i,j)$ 位置的值，等於從狀態 $j$ 經過 $k$ 次操作後，變成狀態 $i$ 的機率。
$\boxed{\text{題組}}$使用圓球和袋球作機率實驗。球只有黑白兩色，袋中裝有兩顆球，因此只有三種可能情況：把雙白球稱為狀態 $1$，一白球一黑球稱為狀態 $2$，雙黑球稱為狀態 $3$。對這袋球做如下操作：自袋中隨機移去一球後，再隨機移入一顆白球或黑球（移入白球或黑球的機率相等）。每次操作可能會改變袋中球的狀態。把從狀態 $j$ 經過一次操作後會變成狀態 $i$ 的機率記為 $p_{ij}$（例如上題的機率就是 $p_{32}$），由此構成一 $3\times 3$ 矩陣 $P$。把矩陣 $P$ 連續自乘 $k$ 次後的矩陣記為 $P^k$。已知矩陣 $P^k$ 中 $(i,j)$ 位置的值，等於從狀態 $j$ 經過 $k$ 次操作後，變成狀態 $i$ 的機率。
第 $1$ 題：（單選題，$6$ 分）如果現在袋子內的球是一白一黑（即狀態 $2$），請問經過一次操作後，袋中會變成兩顆黑球（狀態 $3$）的機率是多少？
$(1)$ $\dfrac{1}{4}$ $(2)$ $\dfrac{1}{3}$ $(3)$ $\dfrac{1}{2}$ $(4)$ $\dfrac{2}{3}$
第 $2$ 題：（多選題，$8$ 分）針對矩陣 $P$，下列選項有哪些是正確的？
$(1)$ 矩陣 $P$ 滿足 $p_{ij}=p_{ji}$。
$(2)$ $P$ 是轉移矩陣（即每行之和皆為 $1$）。
$(3)$ $P$ 的行列式值為正。
$(4)$ $p_{11}=p_{33}$。
第 $3$ 題：（多選題，$8$ 分）針對多次操作，下列選項有哪些是正確的？
$(1)$ 從一白一黑（狀態 $2$）開始，經過 $k$ 次操作後，變成雙白（狀態 $1$）的機率與變成雙黑（狀態 $3$）的機率相等。
$(2)$ 從雙白（狀態 $1$）開始，經過 $k$ 次操作後，回到雙白（狀態 $1$）的機率，比變成雙黑（狀態 $3$）的機率大。
$(3)$ 從雙白（狀態 $1$）開始，經過 $k$ 次操作後，回到雙白（狀態 $1$）的機率，會隨著次數 $k$ 的增加而遞減。
$(4)$ 不論從哪種狀態開始，經過 $k$ 次操作後，變成任何一種狀態的機率，會隨著 $k$ 趨近於無窮大而趨近於 $\dfrac{1}{3}$。
詳解
**第 $1$ 題解答**
從狀態 $2$（一白一黑）出發，要變成狀態 $3$（雙黑）：取出白球（機率 $\tfrac12$）後放入黑球（機率 $\tfrac12$）。
$$p_{32}=\tfrac12\times\tfrac12=\tfrac14$$
故選 $(1)$。
**第 $2$ 題解答**
建構轉移矩陣 $P$（$p_{ij}$＝由狀態 $j$ 轉到狀態 $i$ 的機率）：
- 由狀態 $1$（雙白）：取白（必），放白 $\tfrac12$→$1$、放黑 $\tfrac12$→$2$，得 $p_{11}=\tfrac12,\ p_{21}=\tfrac12,\ p_{31}=0$。
- 由狀態 $2$（一白一黑）：四種等機率（各 $\tfrac14$）為 取黑放白→$1$、取白放白→$2$、取黑放黑→$2$、取白放黑→$3$，得 $p_{12}=\tfrac14,\ p_{22}=\tfrac12,\ p_{32}=\tfrac14$。
- 由狀態 $3$（雙黑）：取黑（必），放白 $\tfrac12$→$2$、放黑 $\tfrac12$→$3$，得 $p_{13}=0,\ p_{23}=\tfrac12,\ p_{33}=\tfrac12$。
$$P=\begin{pmatrix}\tfrac12&\tfrac14&0\\\tfrac12&\tfrac12&\tfrac12\\0&\tfrac14&\tfrac12\end{pmatrix}$$
$(1)$：$p_{23}=\tfrac12\neq\tfrac14=p_{32}$，不對稱，**錯**。
$(2)$：各欄之和均為 $1$，是轉移矩陣，**對**。
$(3)$：$\det(P)=\tfrac12\left(\tfrac12\cdot\tfrac12-\tfrac12\cdot\tfrac14\right)-\tfrac14\left(\tfrac12\cdot\tfrac12-0\right)=\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{16}=0$，非正，**錯**。
$(4)$：$p_{11}=\tfrac12=p_{33}$，**對**。
故選 $(2)(4)$。
**第 $3$ 題解答**
$P$ 的特徵值為 $1,\tfrac12,0$，穩態分布 $\pi=\left(\tfrac14,\tfrac12,\tfrac14\right)$。由 $1\leftrightarrow 3$ 對稱性可得
$$p_{11}^{(k)}=\tfrac14+\left(\tfrac12\right)^{k+1},\qquad p_{31}^{(k)}=\tfrac14-\left(\tfrac12\right)^{k+1}.$$
$(1)$：由狀態 $2$ 出發，系統在 $1\leftrightarrow 3$ 下對稱，故 $k$ 步後到狀態 $1$ 與到狀態 $3$ 的機率恆相等，**對**。
$(2)$：$p_{11}^{(k)}-p_{31}^{(k)}=\left(\tfrac12\right)^{k}>0$，由狀態 $1$ 回到 $1$ 的機率恆大於變成 $3$，**對**。
$(3)$：$p_{11}^{(k)}=\tfrac14+\left(\tfrac12\right)^{k+1}$ 隨 $k$ 嚴格遞減（$\tfrac12,\tfrac38,\tfrac{5}{16},\dots\to\tfrac14$），**對**。
$(4)$：穩態為 $\left(\tfrac14,\tfrac12,\tfrac14\right)\neq\left(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac13\right)$，**錯**。
故選 $(1)(2)(3)$。