方程組有非零解 $\Leftrightarrow$ 係數行列式為零： $$\begin{vmatrix}1+\cos\theta & -1\\-1 & 1+\sin\theta\end{vmatrix}=0$$ $$(1+\cos\theta)(1+\sin\theta)-1=0$$ $$1+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta-1=0$$ $$\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta=0\ (*)$$ 設 $s=\sin\theta+\cos\theta$，則 $\sin\theta\cos\theta=\dfrac{s^2-1}{2}$，代入 $(*)$： $$s+\dfrac{s^2-1}{2}=0\implies s^2+2s+1=0\implies (s+1)^2=0$$ $$\therefore s=-1$$ 故 $\sin\theta+\cos\theta=-1$。