92指考數學甲多選第5題詳解

因為若 $x^2+y^2\le 1$，則 $$\dfrac{x^2}{n^2}+y^2\le x^2+y^2\le 1$$ 且 $$x^2+\dfrac{y^2}{n^2}\le x^2+y^2\le 1$$ 故單位圓盤包含於 $A_n$。又由交集邊界可知 $A_n$ 落在四個橢圓弧圍成的中央區域，且被正方形 $x,y\in[-1,1]$ 所含。 $(1)$ 正 (2) $A_n$ 嚴格包含單位圓盤，例如對角線方向有單位圓外的點仍在 $A_n$ 中，故面積 $>\pi$，對。 (3) $A_n$ 為凸集且包含單位圓盤。凸集在包含關係下周長不小於內含圓盤的周長，所以因此 $A_n$ 的周長至少為 $2\pi>5$，對。 $(4)$ 當 故選 $(1)(2)(3)(4)$。