92指考數學甲選填第11題詳解

因為焦點與頂點都成對對稱於橢圓中心。四點只能配成 $\{(8,4),(16,12)\}$ 與 $\{(9,11),(15,5)\}$，兩組中點皆為 $(12,8)$，故中心為 $(12,8)$。 兩組連線方向分別為 $(1,1)$ 與 $(1,-1)$，互相垂直，所以一組是焦點所在方向，另一組是短軸頂點方向。兩組半距平方分別為 $$\dfrac{(16-8)^2+(12-4)^2}{4}=32$$ 與 $$\dfrac{(15-9)^2+(5-11)^2}{4}=18$$ 這兩個數就是 $c^2$ 與 $b^2$（順序不影響），故半長軸平方 $$a^2=b^2+c^2=32+18=50,$$ 半長軸長度為 $\sqrt{50}$。