92 指考數學甲第 12 題

Question

坐標平面上，當點 $P=(x,y)$ 在曲線 $y^2+2xy+x^2-2x+6y+1=0$ 上變動時，點 $P$ 到直線 $x-y+4=0$ 的距離的最小值等於 $\underline{\hspace{2em}}$。

Accepted Answer

答案：$\sqrt{8}$
令 $u=x+y$、$v=x-y$。曲線可寫為 $(x+y)^2-2x+6y+1=0$，其中 $-2x+6y=2u-4v$，故
$$u^2+2u-4v+1=0\;\Rightarrow\; v=\dfrac{(u+1)^2}{4}\ge 0$$
點 $P$ 到直線 $x-y+4=0$ 的距離為
$$d=\dfrac{|x-y+4|}{\sqrt2}=\dfrac{v+4}{\sqrt2}$$
當 $v=0$（即 $u=-1$）時最小，$d_{\min}=\dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2=\sqrt{8}$。