93指考數學甲非選第12題詳解

設拋物線上動點為 $P(x,y)$、焦點為 $F(1,2)$、準線為 $L:kx+y+1=0$。由拋物線定義，$d(P,F)=d(P,L)$。 拋物線通過 $(2,0)$，代入得 $$5=\frac{(2k+1)^2}{k^2+1},$$ 化簡為 $$k^2-4k+4=0,$$ 故 $k=2$，準線為 $$2x+y+1=0.$$ 對稱軸與準線互相垂直，且通過焦點 $(1,2)$。設對稱軸為 $x-2y=a$，代入焦點得 $a=-3$，所以對稱軸為 $$x-2y+3=0.$$ 準線與對稱軸交於 $$\begin{cases}2x+y+1=0\\x-2y+3=0\end{cases}$$ 解得 $(-1,1)$。頂點為 $(-1,1)$ 與焦點 $(1,2)$ 的中點，因此 $$\left(\frac{-1+1}{2},\frac{1+2}{2}\right)=\left(0,\frac{3}{2}\right).$$