93指考數學甲非選第11題詳解

方程組不只有一組解時，兩直線重合，因此 $$\frac{1+\cos\theta}{-1}=\frac{-1}{1+\sin\theta},$$ 化簡得 $$\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta=0.$$ 令 $a=\sin\theta+\cos\theta$。由 $a=\sqrt2\sin(\theta+45^\circ)$，可知 $-\sqrt2\leq a\leq\sqrt2$；又 $$\sin\theta\cos\theta=\frac{a^2-1}{2}.$$ 代入得 $$a+\frac{a^2-1}{2}=0,$$ 即 $$a^2+2a-1=0.$$ 所以 $a=-1\pm\sqrt2$。因 $-\sqrt2\leq a\leq\sqrt2$，可行值為 $$\sin\theta+\cos\theta=-1+\sqrt2.$$