91學測數學補考選填第16題詳解

設正方形 $ABCD$ 的邊長為 $x$，直線 $L$ 與直線 $AB$（及 $CD$）的夾角為 $\theta$，則 $L$ 與直線 $BC$（及 $AD$）的夾角為 $90^\circ - \theta$。 由於 $AB \parallel CD$，兩平行線間的距離為正方形邊長 $x$。這兩條平行線截直線 $L$ 所得的線段長度 $PR$ 滿足： $$PR = \dfrac{x}{\sin\theta} = 3 \implies \sin\theta = \dfrac{x}{3}$$ 同理，對於平行線 $BC \parallel AD$，其截直線 $L$ 所得的線段長度 $QS$ 滿足： $$QS = \dfrac{x}{\cos\theta} = 4 \implies \cos\theta = \dfrac{x}{4}$$ 利用三角恆等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$： $$\left(\dfrac{x}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 = 1$$ $$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{x^2}{16} = 1 \implies x^2\left(\dfrac{25}{144}\right) = 1$$ $$x^2 = \dfrac{144}{25} \implies x = \dfrac{12}{5}$$ 故正方形的邊長為 $\dfrac{12}{5}$。