91學測數學補考選填第17題詳解

將三個平面方程式整理為標準齊次形式： $$\begin{cases} (5-k)x + 4y - 4z = 0 \\ 4x + (5-k)y + 2z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$ 若三個平面交於一直線，代表此齊次方程組有無限多組解（非平凡解），因此其係數行列式值必為 $0$： $$\Delta = \begin{vmatrix} 5-k & 4 & -4 \\ 4 & 5-k & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ 進行列運算，將第一列減去第三列的 $4$ 倍，第二列加上第三列的 $2$ 倍： $$\begin{vmatrix} 9-k & 8 & 0 \\ 6 & 7-k & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 9-k & 8 \\ 6 & 7-k \end{vmatrix} = 0$$ $$(9-k)(7-k) - 48 = 0$$ $$63 - 16k + k^2 - 48 = 0 \implies k^2 - 16k + 15 = 0$$ $$(k-1)(k-15) = 0 \implies k = 1 \text{ 或 } k = 15$$ 又題目限制 $k < 10$，故取 $k = 1$。 故答案為 $1$。