92 指考數學甲第 10 題

Question

彩票公司每天開獎一次，從 $1$、$2$、$3$ 三個號碼中隨機開出一個。開獎時，如果開出的號碼和前一天相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止。如果在第一天開出的號碼是 $3$，則在第五天開出號碼同樣是 $3$ 的機率是 $\underline{\hspace{2em}}$（以最簡分數表示）。

Accepted Answer

答案：$\dfrac{3}{8}$
每天的號碼必與前一天不同，且等機率落在其餘兩號。令 $p_n$ 為第 $n$ 天開出 $3$ 的機率，$p_1=1$。

遞迴關係 $p_{n+1}=\dfrac12(1-p_n)$：
$$p_2=0,\ \ p_3=\dfrac12,\ \ p_4=\dfrac14,\ \ p_5=\dfrac38$$
故第五天開出 $3$ 的機率為 $\dfrac{3}{8}$。