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091_07A_q06
91 指考數學甲 第 6 題
📅 91 年
📝 指考數學甲
第 6 題
題型：多選
課綱：99課綱
醫療主管機關在持續追蹤某傳染病多年後，發現如果體檢受檢人感染該傳染病，就一定可以檢測出來。但是卻有 $4\%$ 的機率，將一不患該傳染病之受檢者誤檢為患有該病。已知全部男性人口中有 $0.2\%$ 的機率患有此病，現於兵役體檢時進行檢測，若該梯次役男共有十萬人受檢，而且某役男被告知患有該病。請問下列哪些敘述為真？
該役男確實染病的機率大於 $3\%$
該役男確實染病的機率大於 $4\%$
該役男確實染病的機率大於 $5\%$
該役男確實染病的機率大於 $90\%$
條件機率與貝氏定理
機率
機率
解題手法
公式代入
〔AI 推測〕
答案
$(1)(2)$
詳解
利用貝氏定理計算被告知患有該病之役男確實染病的條件機率： - 染病且被檢測出來的機率為 $0.2\% \times 100\% = 0.002$。 - 未染病卻被誤檢為患病的機率為 $(1 - 0.2\%) \times 4\% = 99.8\% \times 4\% = 0.03992$。 被告知患病之役男確實染病的機率為： $$P = \dfrac{0.002}{0.002 + 0.03992} = \dfrac{0.002}{0.04192} \approx 4.77\%$$ 因為 $4.77\% > 3\%$ 且 $4.77\% > 4\%$，所以 $(1)(2)$ 敘述為真。 故選 $(1)(2)$。
題目來源：
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態：
本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。