由轉移矩陣的性質： $(1)$ 正確：兩個轉移矩陣的乘積依然是轉移矩陣。因此 $A^2 = A \times A$ 是轉移矩陣。 $(2)$ 錯誤：因為 $A$、$B$ 是轉移矩陣，其乘積 $AB$ 亦必為轉移矩陣，故必滿足條件（乙）。 $(3)$ 正確：設 $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$， $B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$，則 $\dfrac{1}{2}(A+B) = \begin{bmatrix} \frac{a_{11}+b_{11}}{2} & \frac{a_{12}+b_{12}}{2} \\ \frac{a_{21}+b_{21}}{2} & \frac{a_{22}+b_{22}}{2} \end{bmatrix}$，其元素皆為非負實數，且其每一行數字相加為 $\dfrac{(a_{11}+a_{21}) + (b_{11}+b_{21})}{2} = \dfrac{1+1}{2} = 1$，故滿足條件（甲）（乙），為轉移矩陣。 $(4)$ 錯誤：因為 $A^2$ 與 $B^2$ 的行和皆為 $1$，故 $\dfrac{1}{4}(A^2+B^2)$ 的行和為 $\dfrac{1+1}{4} = \dfrac{1}{2} \ne 1$，不滿足條件（乙），故非轉移矩陣。 故選 $(1)(3)$。