91指考數學甲多選第5題詳解

依題目所列例矩陣，條件（乙）是每一直行的數字相加都等於 $1$。逐一判斷： $(1)$ 正確：轉移矩陣的元素皆非負，乘積 $A^2$ 的元素仍為非負。又 $A$ 的每一直行和為 $1$，矩陣乘法會保持直行和為 $1$，因此 $A^2$ 是轉移矩陣。 $(2)$ 錯誤：同理，兩個轉移矩陣的乘積 $AB$ 仍滿足條件（甲）（乙），所以 $AB$ 滿足條件（乙）。 $(3)$ 正確：對 $\dfrac{1}{2}(A+B)$，元素仍非負；每一直行的和為 $\dfrac{1}{2}(1+1)=1$，因此 $\dfrac{1}{2}(A+B)$ 是轉移矩陣。 $(4)$ 錯誤：因 $A^2$、$B^2$ 都是轉移矩陣，每一直行和皆為 $1$，所以 $\dfrac{1}{4}(A^2+B^2)$ 的每一直行和為 $\dfrac{1}{4}(1+1)=\dfrac{1}{2}$，不滿足條件（乙）。 故選 $(1)(3)$。