給定兩定點 $A(1,3)$ 與 $B(5,6)$，計算線段 $AB$ 的長度： $$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (6-3)^2} = 5$$ 考慮滿足條件的點 $P$： 1. **面積條件**： $\Delta PAB$ 的面積為 $10$，以 $AB$ 為底，則高 $h$ 滿足： $$\dfrac{1}{2} \times AB \times h = 10 \implies h = 4$$ 這表示點 $P$ 必須落在與直線 $AB$ 平行且距離為 $4$ 的兩條平行線 $L_1$ 與 $L_2$ 上。 2. **周長條件**： $\Delta PAB$ 的周長為 $15$，則： $$PA + PB + AB = 15 \implies PA + PB + 5 = 15 \implies PA + PB = 10$$ 根據橢圓的定義，滿足 $PA + PB = 10 > AB = 5$ 的點 $P$ 的軌跡是以 $A, B$ 為焦點的橢圓 $\Gamma$。 該橢圓的半長軸 $a = 5$。焦點半距離 $c = \dfrac{AB}{2} = 2.5$。 半短軸 $b$ 滿足： $$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{25 - 6.25} = \sqrt{18.75} \approx 4.33$$ 3. **平行線與橢圓的交點**： 平行線 $L_1, L_2$ 到橢圓中心（即 $AB$ 中點）的距離為高 $h = 4$。 由於 $h = 4 < b \approx 4.33$，這表示兩條平行線均會與該橢圓相交，且各交於兩點。 進而，集合 $S$ 恰含 $4$ 個點，故選 $(3)$。