根據二項分布，各事件的機率公式為： $$a_n = \binom{4}{n} \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{\binom{4}{n}}{16}$$ $$b_n = \binom{8}{n} \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 = \dfrac{\binom{8}{n}}{256}$$ 分別檢驗各選項： $(1)$ $a_2 = \dfrac{\binom{4}{2}}{16} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} \ne \dfrac{1}{2}$，此選項錯誤。 $(2)$ $a_2 = \dfrac{3}{8} = \dfrac{48}{128}$，而 $b_4 = \dfrac{\binom{8}{4}}{256} = \dfrac{70}{256} = \dfrac{35}{128}$。因 $a_2 \ne b_4$，此選項錯誤。 $(3)$ 根據組合數的對稱性，$\binom{8}{2} = \binom{8}{6} = 28$，故： $$b_2 = \dfrac{28}{256} = b_6$$ 此選項正確。 $(4)$ 計算 $a_3$ 與 $b_3$： $$a_3 = \dfrac{\binom{4}{3}}{16} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{32}$$ $$b_3 = \dfrac{\binom{8}{3}}{256} = \dfrac{56}{256} = \dfrac{7}{32}$$ 因為 $\dfrac{8}{32} > \dfrac{7}{32}$，所以 $a_3 > b_3$，此選項正確。 $(5)$ 二項式係數 $\binom{8}{n}$ 在 $n = 4$ 時取得最大值，故 $b_n$ 在 $n=4$ 時最大，即最大值是 $b_4$，此選項正確。 綜合上述，正確選項為 $(3)(4)(5)$。