108指考數學甲多選第5題詳解

袋中共有 $6$ 顆球：$2$ 紅、$3$ 白、$1$ 藍。 (1) $P(\text{第 } 1 \text{ 顆紅}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$。根據機率對稱性（或計算 $P = \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$），$P(\text{第 } 2 \text{ 顆紅}) = \dfrac{1}{3}$。正確。 (2) $P(\text{第 } 2 \text{ 顆紅} \mid \text{第 } 1 \text{ 顆紅}) = \dfrac{1}{5}$，而 $P(\text{第 } 2 \text{ 顆紅}) = \dfrac{1}{3}$。兩者不相等，故不為獨立事件。錯誤。 (3) 若第一顆為紅球，第二顆可以為白球（如 $RW$），故兩事件可以同時發生，不為互斥事件。錯誤。 (4) $P(\text{一、二顆皆紅}) = \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$，$P(\text{一、二顆皆白}) = \dfrac{3}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}$。兩者不相等。錯誤。 (5) $P(\text{前三顆皆白}) = \dfrac{3}{6} \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{120} = \dfrac{1}{20}$。前三顆異色的排列數為 $3! = 6$，故 $P(\text{前三顆異色}) = 6 \times \left(\dfrac{2}{6} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{4}\right) = 6 \times \dfrac{6}{120} = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}$。因為 $\dfrac{1}{20} < \dfrac{3}{10}$，正確。 正確選項為 $(1)(5)$。