109 指考數學甲第 2 題

Question

有 $A, B$ 兩個箱子，其中 $A$ 箱有 6 顆白球與 4 顆紅球，$B$ 箱有 8 顆白球與 2 顆藍球。現有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）：
(一) 先在 $A$ 箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從 $B$ 箱中抽取一球；
(二) 先在 $B$ 箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從 $A$ 箱中抽取一球；
(三) 同時分別在 $A, B$ 箱中各抽取一球。
給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得 50 元獎金；若只抽到藍球得 100 元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得 100 元獎金；若都沒抽到，則無獎金。將上列 (一)、(二)、(三) 這 3 種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為 $E_1$、$E_2$、$E_3$，試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(3)$
設 $R$ 表示從 $A$ 箱抽中紅球的事件，$B$ 表示從 $B$ 箱抽中藍球的事件。
已知 $P(R) = \dfrac{4}{10} = 0.4$，$P(R^c) = 0.6$；$P(B) = \dfrac{2}{10} = 0.2$，$P(B^c) = 0.8$。

(一) 期望值 $E_1$：
- 抽中紅球：機率 $0.4$，獎金 50 元。
- 先抽白球再抽藍球：機率 $0.6 	imes 0.2 = 0.12$，獎金 100 元。
$E_1 = 0.4 	imes 50 + 0.12 	imes 100 = 20 + 12 = 32$。

(二) 期望值 $E_2$：
- …