109指考數學甲單選第1題詳解

1. 因為 $a = 1 - \cos^2\theta$，所以 $a = \sin^2\theta$。 2. 因為 $b = \frac{1}{\cos\theta} - \cos\theta = \frac{1 - \cos^2\theta}{\cos\theta}$，所以 $b = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$。 3. 因為 $c = \frac{\tan\theta}{\tan^2\theta + 1} = \frac{\tan\theta}{\sec^2\theta}$，所以 $c = \sin\theta \cos\theta$。 4. 因為 $45^\circ < \theta < 50^\circ$，所以 $\sin\theta > \cos\theta > 0$，因此 $a = \sin^2\theta > \sin\theta \cos\theta = c$，即 $a > c$。 5. 因為 $0 < \cos\theta < 1$，所以 $\frac{1}{\cos\theta} > 1$，因此 $b = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} > \sin^2\theta = a$，即 $b > a$。 6. 綜合上述，因為 $b > a$ 且 $a > c$，所以 $c < a < b$。 故選 $(5)$。