111 學測數學A 第 5 題

Question

已知某地區有 $30\%$ 的人口感染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性或陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為 $80\%$，將未染病者判為陰性的機率則為 $60\%$。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為 $P$；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為 $P^{\prime}$。試問 $\dfrac{P}{P^{\prime}}$ 最接近哪一選項？

Accepted Answer

答案：$(2)$
單次陰性後染病機率 $P=\dfrac{0.3\cdot0.2}{0.3\cdot0.2+0.7\cdot0.6}$。三次皆陰性後 $P^{\prime}=\dfrac{0.3\cdot0.2^3}{0.3\cdot0.2^3+0.7\cdot0.6^3}$。計算得 $P/P^{\prime}\approx 8$。