111學測數學A單選第5題詳解

1. 定義事件：$D$ 為染病，$N$ 為單次檢驗判陰性。已知 $P(D)=0.3$，$P(N\mid D)=0.2$，且將未染病者判為陰性的機率為 $60\%$，即 $P(N\mid D^c)=0.6$。 2. 計算單次陰性中染病機率 $P$：因為 $$P(D\mid N)=\frac{P(N\mid D)P(D)}{P(N\mid D)P(D)+P(N\mid D^c)P(D^c)},$$ 所以 $$P=\frac{0.2\times0.3}{0.2\times0.3+0.6\times0.7}=\frac{0.06}{0.06+0.42}=\frac{0.06}{0.48}=\frac{1}{8}.$$ 3. 計算連續三次皆判陰性中染病機率 $P'$：因為三次檢驗獨立，所以 $$P(D\mid N_1N_2N_3)=\frac{(0.2)^3\times0.3}{(0.2)^3\times0.3+(0.6)^3\times0.7}=\frac{0.008\times0.3}{0.008\times0.3+0.216\times0.7}=\frac{0.0024}{0.0024+0.1512}.$$ 因此 $P'=\frac{0.0024}{0.1536}=\frac{1}{64}$。 4. 計算比值： $$\frac{P}{P'}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{64}}=8.$$ 故選 $(2)$。