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93指考數學甲多選第7題詳解

📅 93 年 📝 指考數學甲 第 7 題 題型：多選 課綱：99課綱

答案與本題考點

答案：$(2)(4)$

本題考點：行列式、矩陣與應用

題目

三、題組（22%）第6至8題
三、題組（$22\text{%}$）說明：第 $6$ 至 $8$ 題為一完整之題組，請詳細閱讀後回答問題。第 $6$ 題為單選題，第 $7,8$ 兩題為多選題。使用圓球和袋球作機率實驗。球只有黑白兩色，袋中裝有兩顆球，因此只有三種可能情況：把雙白球稱為狀態 $1$，一白球一黑球稱為狀態 $2$，雙黑球稱為狀態 $3$。對這袋球做如下操作：自袋中隨機移走一球後，再隨機移入一顆白球或黑球（移入白球或黑球的機率相等）。每次操作可能會改變袋中球的狀態。
把從狀態 $j$ 經過一次操作後會變成狀態 $i$ 的機率記為 $p_{ij}$（例如上題的機率就是 $p_{32}$），由此構成一 $3\times 3$ 矩陣 $P$。 $7.$（多選題，$8$ 分）針對矩陣 $P$，下列選項有哪些是正確的？
  1. 矩陣 $P$ 滿足 $p_{ij}=p_{ji}$。
  2. $P$ 是轉移矩陣（即每行之和皆為 $1$）。
  3. $P$ 的行列式值為正。
  4. $p_{11}=p_{33}$。
行列式、矩陣與應用

答案

答案

$(2)(4)$

依本機詳解 PDF：P=[[1/2,1/4,0],[1/2,1/2,1/2],[0,1/4,1/2]]；(1)錯、(2)對、(3)錯、(4)對。

詳解

詳解
由題意可得 $$P=\begin{pmatrix}\frac12&\frac14&0\\\frac12&\frac12&\frac12\\0&\frac14&\frac12\end{pmatrix}.$$ $(1)$：$p_{12}=\frac14$，$p_{21}=\frac12$，故 $p_{12}\neq p_{21}$，所以錯。 $(2)$：檢驗 $$p_{11}+p_{21}+p_{31}=1,$$ $$p_{12}+p_{22}+p_{32}=1,$$ $$p_{13}+p_{23}+p_{33}=1,$$ 所以 $P$ 為轉移矩陣，對。 $(3)$：$\det(P)=0$，不是正值，所以錯。 $(4)$：$p_{11}=\frac12=p_{33}$，所以對。 故選 $(2)(4)$。

題目來源：民國93年指考數學甲 第7題（來源PDF第4頁）

資料版本：2026-07-21（commit bde62541）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈93指考數學甲多選第7題詳解〉，資料版本 2026-07-21，https://twmath.com/questions/093_07A_q07.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。