108指考數學甲多選第8題詳解

已知 $A$、$B$、$C$ 為單位圓上三相異點， 所以 $|\overset{\large\rightharpoonup}{OA}| = |\overset{\large\rightharpoonup}{OB}| = |\overset{\large\rightharpoonup}{OC}| = 1$。 且 $2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB} + 4\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = \overset{\large\rightharpoonup}{0}$。 選項 $(1)$：向量 $2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$ 的長度為 $4$。 因為 $2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB} = -4\overset{\large\rightharpoonup}{OC}$， 所以兩邊取長度得 $|2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB}| = |-4\overset{\large\rightharpoonup}{OC}| = 4|\overset{\large\rightharpoonup}{OC}| = 4$，$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} < 0$。 因為 $|2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB}|^2 = 4|\overset{\large\rightharpoonup}{OA}|^2 + 9|\overset{\large\rightharpoonup}{OB}|^2 + 12\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = 16$， 所以 $4 + 9 + 12\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = 16$， 得 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = \frac{1}{4} > 0$，$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$\angle BOC$、$\angle AOC$、$\angle AOB$ 中，以 $\angle BOC$ 的度數為最小。 因為同理可求其餘內積： 由 $3\overset{\large\rightharpoonup}{OB} + 4\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = -2\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$， 兩邊平方得 $9 + 16 + 24\overset{\large\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OC} = 4$， 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OC} = -\frac{7}{8}$。 由 $2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 4\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = -3\overset{\large\rightharpoonup}{OB}$， 兩邊平方得 $4 + 16 + 16\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OC} = 9$， 所以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OC} = -\frac{11}{16}$。 因為內積愈小表示夾角愈大，而 $-\frac{7}{8} < -\frac{11}{16} < \frac{1}{4}$， 所以 $\angle BOC > \angle AOC > \angle AOB$，$\angle BOC$ 為最大角而非最小，$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$\overline{AB} > \frac{3}{2}$。 因為 $\overline{AB}^2 = |\overset{\large\rightharpoonup}{OB} - \overset{\large\rightharpoonup}{OA}|^2 = 1 + 1 - 2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{OB} = 2 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$， 所以 $\overline{AB} = \sqrt{\frac{3}{2}} < \frac{3}{2}$（因為 $\frac{3}{2} > 1$ 時 $\sqrt{\frac{3}{2}} < \frac{3}{2}$），$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$3 \sin \angle AOB = 4 \sin \angle AOC$。 因為 $2\overset{\large\rightharpoonup}{OA} + 3\overset{\large\rightharpoonup}{OB} + 4\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = \overset{\large\rightharpoonup}{0}$， 移項得 $3\overset{\large\rightharpoonup}{OB} + 4\overset{\large\rightharpoonup}{OC} = -2\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$。 在平面上取此式與 $\overset{\large\rightharpoonup}{OA}$ 的外積（行列式值）： $\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \times (3\overset{\large\rightharpoonup}{OB} + 4\overset{\large\rightharpoonup}{OC}) = \overset{\large\rightharpoonup}{OA} \times (-2\overset{\large\rightharpoonup}{OA}) = \overset{\large\rightharpoonup}{0}$， 所以 $3(\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \times \overset{\large\rightharpoonup}{OB}) + 4(\overset{\large\rightharpoonup}{OA} \times \overset{\large\rightharpoonup}{OC}) = \overset{\large\rightharpoonup}{0}$。 取絕對值得 $3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC$（因為外積的長度 $|\overset{\large\rightharpoonup}{u} \times \overset{\large\rightharpoonup}{v}| = |\overset{\large\rightharpoonup}{u}||\overset{\large\rightharpoonup}{v}|\sin\theta$），$(5)$ 正確。 故選 $(1)(5)$。