108_07A_q09
108 指考數學甲 第 9 題
📅 108 年 📝 指考數學甲 第 9 題 題型:選填 課綱:99課綱
在坐標平面上,定義一個坐標變換 $\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$,其中 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 代表舊坐標,$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$ 代表新坐標。若舊坐標為 $\begin{bmatrix} r \\ s \end{bmatrix}$ 的點 $P$ 經此坐標變換後得到的新坐標為 $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$,則 $(r, s) = (\text{____}, \text{____})$。
線性變換矩陣運算矩陣行列式、矩陣與應用
答案

$(3, -1)$

詳解
將已知的新坐標與舊坐標代入坐標變換公式: $$\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ s \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$$ 移項整理得: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \\ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \end{bmatrix}$$ 展開矩陣乘法建立方程組: $$\begin{cases} r = 3 \\ -r + 2s = -5 \end{cases}$$ 將 $r=3$ 代入第二式: $$-3 + 2s = -5 \implies 2s = -2 \implies s = -1$$ 因此 $(r, s) = (3, -1)$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

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