1. 投擲公正骰子三次，所得點數 $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。每個骰子點數出現機率均為 $1/6$，且互相獨立。 2. 已知條件為「$b$ 為奇數」，即 $$b \in \{1, 3, 5\}$$。這三種情況出現的機會均等（各為 $1/3$）。 3. 我們希望滿足行列式大於 $0$，即： $$\begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix} > 0 \implies ac - b^2 > 0 \implies ac > b^2$$。 4. 分類討論不同的 $b$ 值之下，滿足條件的 $(a, c)$ 組合數： - 當 $b = 1$ 時：我們需要 $$ac > 1^2 = 1$$。在所有 $$6 \times 6 = 36\text{ 種}$$ $(a, c)$ 組合中，只有 $a = 1$ 且 $c = 1$ 時 $ac = 1$。因此符合條件的組合有 $$36 - 1 = 35\text{ 種}$$。 - 當 $b = 3$ 時：我們需要 $$ac > 3^2 = 9$$。不符條件（即 $$ac \le 9$$）的組合有： - $a = 1$：$c = 1, 2, 3, 4, 5, 6$（$6$ 種） - $a = 2$：$c = 1, 2, 3, 4$（$4$ 種） - $a = 3$：$c = 1, 2, 3$（$3$ 種） - $a = 4$：$c = 1, 2$（$2$ 種） - $a = 5$：$c = 1$（$1$ 種） - $a = 6$：$c = 1$（$1$ 種） 不符條件共計 $$6 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 17\text{ 種}$$。因此，符合條件的組合有 $$36 - 17 = 19\text{ 種}$$。 - 當 $b = 5$ 時：我們需要 $$ac > 5^2 = 25$$。符合條件的組合有： - $a = 5$：$c = 6$（$1$ 種） - $a = 6$：$c = 5, 6$（$2$ 種） 符合條件共計 $$1 + 2 = 3\text{ 種}$$。 5. 在 $b$ 為奇數的條件下，所有可能的 $(a, b, c)$ 樣本點總數為：$$3 \times 6 \times 6 = 108\text{ 種}$$。 其中滿足行列式大於 $0$ 的成功樣本點總數為：$$35 + 19 + 3 = 57\text{ 種}$$。 6. 因此，所求的條件機率為： $$P = \dfrac{57}{108} = \dfrac{19}{36}\text{ （已化為最簡分數）}$$。