105學測數學選填第19題詳解

1. 投擲公正骰子三次，所得點數 $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。因為每個骰子點數出現機率均為 $\frac{1}{6}$，且互相獨立，所以各組合等機率。 2. 已知條件為「$b$ 為奇數」，即 $$b \in \{1, 3, 5\}$$ 這三種情況出現的機會均等，各為 $\frac{1}{3}$。 3. 我們希望滿足行列式大於 $0$，即 $$\begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix} > 0 \implies ac - b^2 > 0 \implies ac > b^2$$ 4. 分類討論不同的 $b$ 值，計算滿足條件的 $(a, c)$ 組合數。 當 $b = 1$ 時，需要 $ac > 1^2 = 1$。在所有 $6 \times 6 = 36\text{ 種}$ $(a, c)$ 組合中，只有 $a = 1$ 且 $c = 1$ 時 $ac = 1$，因此符合條件的組合有 $36 - 1 = 35\text{ 種}$。 當 $b = 3$ 時，需要 $ac > 3^2 = 9$。不符合條件（即 $ac \le 9$）的組合如下： $a = 1$ 時，$c = 1, 2, 3, 4, 5, 6$，共 $6$ 種。 $a = 2$ 時，$c = 1, 2, 3, 4$，共 $4$ 種。 $a = 3$ 時，$c = 1, 2, 3$，共 $3$ 種。 $a = 4$ 時，$c = 1, 2$，共 $2$ 種。 $a = 5$ 時，$c = 1$，共 $1$ 種。 $a = 6$ 時，$c = 1$，共 $1$ 種。 因此不符合條件共 $6 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 17\text{ 種}$，符合條件的組合有 $36 - 17 = 19\text{ 種}$。 當 $b = 5$ 時，需要 $ac > 5^2 = 25$。 $a = 5$ 時，$c = 6$，共 $1$ 種。 $a = 6$ 時，$c = 5, 6$，共 $2$ 種。 因此符合條件共 $1 + 2 = 3\text{ 種}$。 5. 在 $b$ 為奇數的條件下，所有可能的 $(a, b, c)$ 樣本點總數為 $$3 \times 6 \times 6 = 108\text{ 種}$$ 其中滿足行列式大於 $0$ 的成功樣本點總數為 $$35 + 19 + 3 = 57\text{ 種}$$ 6. 因此，所求的條件機率為 $$P = \dfrac{57}{108} = \dfrac{19}{36}$$ （已化為最簡分數）。