113學測數學A多選第11題詳解

$a\in\{1,\dots,6\}$，$b\in\{1,2\}$（正面 $=1$、反面 $=2$），樣本空間 $12$ 個等機率結果。係數行列式為 $ab-6$：$ab\neq6$ 時有唯一解，$ab=6$ 時為 $(a,b)=(6,1)$ 或 $(3,2)$。 選項 $(1)$：因為 $a=b$ 只有 $(1,1),(2,2)$ 兩種，所以機率 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$(6,1)$ 時兩式完全相同（無限多解），$(3,2)$ 時左式相同右式不同（無解）。因為無解僅 $1$ 種，所以機率 $\frac{1}{12}$。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$12$ 種中扣掉 $ab=6$ 的 $2$ 種，剩 $10$ 種有唯一解，所以機率 $\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：反面 $b=2$，$a=3$ 無解、其餘 $5$ 種有解，所以機率 $\frac{5}{12}\neq\frac{1}{2}$。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$b=2$ 且 $a\neq3$ 時 $x=\frac{3}{a-3}>0\iff a>3$。因為 $5$ 個可能 $a$ 中 $a>3$ 有 $3$ 個，所以機率 $\frac{3}{5}\neq\frac{2}{5}$。$(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)$。