97指考數學甲多選第4題詳解

每一局中，三人各自投擲銅板一次，總共有 $2^3 = 8$ 種等可能結果： - 遊戲繼續：三人投擲結果皆相同，即 $\text{(HHH, TTT)}$，共有 $2$ 種情況。 其機率為 $P(C) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$。 - 遊戲終止：有一人與其他二人不同，共有 $6$ 種情況。 其機率為 $P(E) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$。 其中，若是有人出局，每個人出局的機率是均等的。即甲出局的機率為 $P(\text{甲}) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$，同理乙、丙出局機率亦為 $\dfrac{1}{4}$。 我們來檢驗各選項： $(1)$ 錯誤：第一局甲就出局的機率是 $P(\text{甲}) = \dfrac{1}{4}$，非 $\dfrac{1}{3}$。 $(2)$ 錯誤：第一局就有人出局的機率是 $P(E) = \dfrac{3}{4}$，非 $\dfrac{1}{2}$。 $(3)$ 正確：第三局才有人出局，表示第一、二局皆繼續，第三局終止，其機率為： $$P = P(C) \times P(C) \times P(E) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{64}$$ $(4)$ 正確：已知在第十局有人出局（條件機率），因為三人地位對稱，每個人在此局出局的機會均等，故甲出局的機率為 $\dfrac{1}{3}$。 $(5)$ 錯誤：該遊戲在終止前至少玩了六局，表示前五局都無人出局（即前五局皆繼續），其機率為： $$P = [P(C)]^5 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 = \dfrac{1}{1024}$$ 因為 $\dfrac{1}{1024} < \dfrac{1}{1000}$，所以機率小於 $\dfrac{1}{1000}$。 故選 $(3)(4)$。