97指考數學甲多選第3題詳解

設旋轉矩陣 $A$ 的旋轉角為 $\theta$，其標準形式為： $$A = R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$ 根據矩陣乘法，旋轉矩陣的六次方為： $$A^6 = R(6\theta) = \begin{bmatrix} \cos(6\theta) & -\sin(6\theta) \\ \sin(6\theta) & \cos(6\theta) \end{bmatrix}$$ 依題意 $A^6 = -I = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=R(\pi)$，因此： $$6\theta = (2k+1)\pi \implies \theta = \dfrac{(2k+1)\pi}{6}\ (k \in \mathbb{Z})$$ 這說明旋轉角 $\theta$ 必須為 $30^\circ$ 的奇數倍。 我們逐一分析各選項的旋轉角： $(1)$ $\theta = 90^\circ = \dfrac{3\pi}{6}$，符合。 $(2)$ $\theta = 60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$，不符合。 $(3)$ $\theta = 30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$，符合。 $(4)$ $\theta = \dfrac{5\pi}{3}=300^\circ$，不符合。 $(5)$ $\theta = \dfrac{5\pi}{6}=150^\circ$，符合。 故選 $(1)(3)(5)$。