98指考數學甲單選第2題詳解

投擲銅板直到連續三次出現同一面才停止。設 $a,b,c$ 為三種條件下的機率。 1. $a$：前三次即停止的機率。因為序列為「正正正」或「反反反」，所以： $$a=(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{4}$$ 2. $b$：已知第一次為反面，在第四次停止的條件機率。令 $F_1$ 為第一次反面，$P(F_1)=\frac{1}{2}$。第四次停止的序列必為「反正正正」： $$P(\text{反正正正})=(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$$ 因此 $b=\frac{1/16}{1/2}=\frac{1}{8}$。 3. $c$：已知前兩次皆反面，在第五次停止的條件機率。令 $F_2$ 為前兩次反面，$P(F_2)=\frac{1}{4}$。第三次必為正（若為反，則第三次已連續三次反面而停止），序列為「反反正正正」： $$P(\text{反反正正正})=(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32}$$ 因此 $c=\frac{1/32}{1/4}=\frac{1}{8}$。 因為 $a=\frac{1}{4}$，$b=c=\frac{1}{8}$，所以 $a>b=c$。 故選 $(5)$。