104 學測數學第 3 題

Question

有兩組供機器運作的配件 $A$、$B$，其單獨發生故障的機率分別為 $0.1$、$0.15$。只有當 $A, B$ 都發生故障時，此機器才無法運作。$A$、$B$ 兩配件若用串接方式，前面故障會導致後面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故障情形互不影響。若考慮以下三種情形：
(一) 將 $B$ 串接於 $A$ 之後
(二) 將 $A$ 串接於 $B$ 之後
(三) 將 $A, B$ 獨立並列
在情況 (一)、(二)、(三)之下，機器無法運作的機率分別為 $p_1$、$p_2$、$p_3$。請選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(2)$
機器無法運作的條件為 $A$ 與 $B$ 皆發生故障，即求 $P(A \cap B)$。
(三) $A$、$B$ 獨立並列：
    故障情形互不影響，故 $$p_3 = P(A) 	imes P(B) = 0.1 	imes 0.15 = 0.015$$。
(一) $B$ 串接於 $A$ 之後：
    $A$ 故障會導致 $B$ 故障。因此若 $A$ 故障，則 $B$ 亦故障，此時機器無法運作；若 $A$ 無故障，則機器必能運作。
    因此，機器無法運作相當於 $A$ 故障，即 $$p_1 = P(A) = 0.1$$。
(二) $A$ 串接於 $B$ 之後：
    同理，$B$…