104 學測數學第 2 題

Question

第 $1$ 天獲得 $1$ 元、第 $2$ 天獲得 $2$ 元、第 $3$ 天獲得 $4$ 元、第 $4$ 天獲得 $8$ 元、依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍，如此進行到第 $30$ 天，試問這 $30$ 天所獲得的錢，總數最接近下列哪一個選項？

Accepted Answer

答案：$(4)$
每天獲得的錢形成首項為 $1$，公比為 $2$ 的等比數列。
前 $30$ 天所獲得的錢總數為此等比級數的前 $30$ 項和：
$$S_{30} = \dfrac{1 \cdot (2^{30} - 1)}{2 - 1} = 2^{30} - 1	ext{ 元}$$。
利用 $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ 進行估算：
$$2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9 = 1,000,000,000	ext{ 元}$$。
因此最接近的選項為 $(4)$。