設首項為 $a_1$，公比為 $r$。根據題意： 1. 前 $10$ 項的和為 $$S_{10} = a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = 80$$。 2. 前 $5$ 個奇數項的和為 $$S_{\text{odd}} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 120$$。 3. 我們知道前 $10$ 項可以分為奇數項與偶數項之和： $$S_{10} = (a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9) + (a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10})$$。 因為 $$a_{2n} = r \cdot a_{2n-1}$$，故偶數項之和為： $$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = r(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9) = r \cdot S_{\text{odd}}$$。 4. 代入公式 $$S_{10} = S_{\text{odd}} + r \cdot S_{\text{odd}} = S_{\text{odd}}(1 + r)$$： $$80 = 120(1 + r) \implies 1 + r = \dfrac{80}{120} = \dfrac{2}{3} \implies r = -\dfrac{1}{3}$$。 5. 由前 $5$ 個奇數項的和公式，這 $5$ 項組成首項為 $a_1$，公比為 $r^2 = \dfrac{1}{9}$ 的等比級數： $$S_{\text{odd}} = a_1 \cdot \dfrac{1 - (r^2)^5}{1 - r^2} = a_1 \cdot \dfrac{1 - (1/9)^5}{1 - 1/9} = 120$$。 代入計算： $$a_1 \cdot \dfrac{1 - 1/59049}{8/9} = 120 \implies a_1 \cdot \left(\dfrac{59048}{59049}\right) \cdot \left(\dfrac{9}{8}\right) = 120$$， $$a_1 \cdot \left(\dfrac{7381}{6561}\right) = 120 \implies a_1 = 120 \cdot \left(\dfrac{6561}{7381}\right) \approx 106.67$$。 6. 因此，首項 $a_1$ 的正確範圍為 $$100 \le a_1 < 110$$。 故選 $(4)$。