105學測數學單選第5題詳解

1. 設第一階段的速度向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1=k\,\overset{\large\rightharpoonup}{a}=(k,2k,2k)$，其中 $k>0$。因為等速直線前進 $5$ 秒，所以到達點為 $$Q=(1,1,1)+5(k,2k,2k)=(1+5k,\;1+10k,\;1+10k).$$ 2. 因為 $Q$ 落在平面 $x-y+3z=28$ 上，代入得 $$(1+5k)-(1+10k)+3(1+10k)=25k+3=28\implies k=1.$$ 3. 因此 $Q=(6,11,11)$，且第一階段的速度向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1=(1,2,2)$，速率為 $$\left|\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1\right|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3.$$ 4. 因為 $\left|\overset{\large\rightharpoonup}{b}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}=3$ 恰等於原速率，所以第二階段的速度向量正好就是 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2=(-2,2,-1)$，不必再調整倍率。 5. 設再經過 $t$ 秒到達 $R$，所以 $$R=(6,11,11)+t(-2,2,-1)=(6-2t,\;11+2t,\;11-t).$$ 因為 $R$ 落在平面 $x=2$ 上，所以 $6-2t=2$，解得 $t=2$。 故選 $(2)$。