分析各個方程式是否有實數解： 1. 方程式 $(1)$: $$\left| x \right| + \left| x-5 \right| = 1$$。 根據三角不等式，對任意實數 $x$，$$\left| x \right| + \left| x-5 \right| = \left| x \right| + \left| 5-x \right| \ge \left| x + 5-x \right| = 5$$。 因此，$$\left| x \right| + \left| x-5 \right|$$ 的最小值為 $5$。故 $$\left| x \right| + \left| x-5 \right| = 1$$ 無實數解。 2. 方程式 $(2)$: $$\left| x \right| + \left| x-5 \right| = 6$$。 因為 $6 \ge 5$（最小值），故此方程式有實數解。 例如當 $x = 5.5$ 時，$$\left| 5.5 \right| + \left| 0.5 \right| = 6$$；當 $x = -0.5$ 時，$$\left| -0.5 \right| + \left| -5.5 \right| = 6$$。 3. 方程式 $(3)$: $$\left| x \right| - \left| x-5 \right| = 1$$。 考慮函數 $f(x) = \left| x \right| - \left| x-5 \right|$ 的值域： - 當 $x \ge 5$ 時，$$f(x) = x - (x-5) = 5$$。 - 當 $0 \le x < 5$ 時，$$f(x) = x - (5-x) = 2x - 5$$。其範圍為 $[-5, 5)$。 - 當 $x < 0$ 時，$$f(x) = -x - (5-x) = -5$$。 因此，$f(x)$ 的值域為 $[-5, 5]$。由於 $1$ 落在值域 $[-5, 5]$ 內，方程式 $f(x) = 1$ 有實數解（解為 $2x-5 = 1 \implies x = 3$）。 4. 方程式 $(4)$: $$\left| x \right| - \left| x-5 \right| = 6$$。 由上述分析，$$f(x) = \left| x \right| - \left| x-5 \right|$$ 的最大值為 $5$。因此 $$\left| x \right| - \left| x-5 \right| = 6$$ 無實數解。 5. 方程式 $(5)$: $$\left| x \right| - \left| x-5 \right| = -1$$。 由於 $-1$ 落在 $f(x)$ 的值域 $[-5, 5]$ 內，故方程式 $$\left| x \right| - \left| x-5 \right| = -1$$ 有實數解（解為 $2x-5 = -1 \implies x = 2$）。 綜上所述，有實數解的方程式為 $(2)$、$(3)$、$(5)$。 故選 $(2)(3)(5)$。