113 學測數學A 第 10 題

Question

坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在 $x$ 軸上，且正方形中心 $A$ 與正六邊形中心 $B$ 都在 $x$ 軸的上方，且兩多邊形恰有一個交點 $P$，又知正方形的邊長為 $6$，而點 $P$ 到 $x$ 軸的距離為 $2\sqrt{3}$。試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(3)(5)$
令交點 $P$ 為正方形左邊與正六邊形最右頂點的接點，取 $P=(0,2\sqrt{3})$。正方形邊長為 $6$，故中心 $A=(3,3)$。正六邊形最右頂點到中心距離等於邊長，且中心高度為邊長的 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 倍，所以正六邊形邊長為 $4$，中心 $B=(-4,2\sqrt{3})$。因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{BA}=(7,3-2\sqrt{3})$。又直線 $AP$ 斜率為 $\dfrac{2\sqrt{3}-3}{0-3}=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}>-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$…