113 學測數學A 第 17 題

Question

坐標平面上，在以 $O(0,0)$、$A(0,1)$、$B(1,1)$、$C(1,0)$ 為頂點的正方形（含邊界）內，令 $R$ 為滿足下述條件的點 $P(x,y)$ 所成區域：與點 $P(x,y)$ 的距離為 $|x-y|$ 之所有點所成圖形完全落在正方形 $OABC$（含邊界）內。則區域 $R$ 的面積為 ____。（化為最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{1}{3}$
圓心 $P=(x,y)$ 的半徑為 $|x-y|$，需不超出單位正方形。由對稱性，考慮 $x\ge y$，此時半徑為 $x-y$，條件化為 $y\le x\le \min(2y,\dfrac{1+y}{2})$。半區域面積為 $\int_0^{1/3} y\,dy+\int_{1/3}^1 \dfrac{1-y}{2}\,dy=\dfrac{1}{6}$，故總面積為 $\dfrac{1}{3}$。