115學測數學A單選第6題詳解

$A(2,-2)$，$B(-1,2)$，$C=(x,-6)$ 在直線 $y=-6$ 上。 因為 $\overline{AB}^2=(2-(-1))^2+(-2-2)^2=9+16=25$，所以 $\overline{AB}=5$。 三種等腰情況： - 若 $\overline{AC}=\overline{AB}$：$(x-2)^2+(-6-(-2))^2=(x-2)^2+16=25$，$(x-2)^2=9$，$x=5$ 或 $x=-1$。 - 若 $\overline{BC}=\overline{AB}$：$(x+1)^2+(-6-2)^2=(x+1)^2+64=25$，$(x+1)^2=-39$，無實數解。 - 若 $\overline{AC}=\overline{BC}$：$(x-2)^2+16=(x+1)^2+64$。展開得 $x^2-4x+20=x^2+2x+65$，$-6x=45$，$x=-\frac{15}{2}$。 因此共 $3$ 個點滿足條件，故選 $(3)$。