115學測數學A多選第7題詳解

聯立不等式： $$\begin{cases}2x-y-3>0\\x+2y+1<0\end{cases}$$ 等價於 $y<2x-3$ 且 $y<\frac{-x-1}{2}$，表示點 $P(x,y)$ 必須同時在兩條直線的下方。 兩直線的交點：$2x-3=\frac{-x-1}{2}$，得 $4x-6=-x-1$，$5x=5$，$x=1$，$y=-1$。 分析各象限： - 第一、第二象限的點滿足 $y\ge0$。因為直線 $y=\frac{-x-1}{2}$ 在 $x>0$ 時取值為負，所以 $x>0$ 時 $y$ 必為負值，不可能在第一、二象限。 - $x$ 軸上（$y=0$）：因為需同時 $x>\frac{3}{2}$ 與 $x<-1$，矛盾，所以無解。 - 第三象限：取 $(-1,-10)$，因為 $y=-10<2(-1)-3=-5$ 且 $-10<\frac{1-1}{2}=0$，所以滿足。 - 第四象限：取 $(10,-10)$，因為 $y=-10<2(10)-3=17$ 且 $-10<\frac{-10-1}{2}=-5.5$，所以滿足。 因此點 $P$ 可能在第三或第四象限。 故選 $(3)(4)$。