115 學測數學A 第 8 題

Question

已知 $A=\begin{bmatrix}2&1\1&0\end{bmatrix}$，且對所有正整數 $n\ge2$，令 $A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\c_n&d_n\end{bmatrix}$。試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(2)(5)$
$A^2=\begin{bmatrix}5&2\2&1\end{bmatrix}=2A+I$，故 $(2)$ 正確，且 $b_2=c_2$，故 $(1)$ 錯。由 $A^2=2A+I$ 得各元素滿足 $x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$，故 $(3)$ 錯。$(4)$ 代 $n=2$ 不成立。又 $A^n$ 對稱，$A^{2n}=(A^n)^2$，所以 $$d_{2n}-a_{2n}=(c_n b_n+d_n^2)-(a_n^2+b_n c_n)=d_n^2-a_n^2$$ 故 $(5)$ 正確。