110指考數學甲多選第4題詳解

由題意，當日自備者隔天有 $10\%$ 轉外食（即 $90\%$ 續自備），當日外食者隔天有 $20\%$ 轉自備（即 $80\%$ 續外食）。 因此轉移關係為 $x_{n+1}=0.9x_n+0.2y_n$，$y_{n+1}=0.1x_n+0.8y_n$。 選項 $(1)$：因為 $y_1=0.1x_0+0.8y_0$，而非 $0.9y_0+0.2x_0$，所以此選項錯誤。 選項 $(2)$：因為 $x_{n+1}=0.9x_n+0.2y_n$，$y_{n+1}=0.1x_n+0.8y_n$，所以矩陣形式為 $\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}$，此選項正確。 選項 $(3)$：因為若 $x_n:y_n=2:1$，即 $y_n=\frac{1}{2}x_n$，則 $$x_{n+1}=0.9x_n+0.2\cdot\dfrac{1}{2}x_n=1.0x_n$$ $$y_{n+1}=0.1x_n+0.8\cdot\dfrac{1}{2}x_n=0.5x_n$$ 所以 $x_{n+1}:y_{n+1}=x_n:0.5x_n=2:1$，比例保持不變，此選項正確。 選項 $(4)$：取 $x_0=0.49$、$y_0=0.51$，則 $y_0>x_0$。但 $x_1=0.9\times0.49+0.2\times0.51=0.543$，$y_1=0.1\times0.49+0.8\times0.51=0.457$，此時 $x_1>y_1$，所以 $y_0>x_0$ 不保證 $y_1>x_1$，此選項錯誤。 選項 $(5)$：取 $x_0=0.51$、$y_0=0.49$，則 $x_0>y_0$。$x_1=0.9\times0.51+0.2\times0.49=0.557>x_0$，所以 $x_0>x_1$ 不必然成立，此選項錯誤。 故選 $(2)(3)$。