設 $n$ 為正整數，符號 $\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}^n$ 代表矩陣 $\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}$ 自乘 $n$ 次。令 $\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_n & b_n\\c_n & d_n\end{bmatrix}$，請選出正確的選項。
- $a_2 = 1$
- $a_1, a_2, a_3$ 為等比數列
- $d_1, d_2, d_3$ 為等比數列
- $b_1, b_2, b_3$ 為等差數列
- $c_1, c_2, c_3$ 為等差數列
詳解
設 $A = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix}$。我們計算 $A^n$ 的前幾項：
- $n = 1$：$$A^1 = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix} \implies a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 0, d_1 = 2$$
- $n = 2$：$$A^2 = \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3\\0 & 4\end{bmatrix} \implies a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = 0, d_2 = 4$$
- $n = 3$：$$A^3 = \begin{bmatrix}1 & 3\\0 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 7\\0 & 8\end{bmatrix} \implies a_3 = 1, b_3 = 7, c_3 = 0, d_3 = 8$$
由數學歸納法可得一般項為：
$$A^n = \begin{bmatrix}1 & 2^n - 1\\0 & 2^n\end{bmatrix} \implies a_n = 1, b_n = 2^n - 1, c_n = 0, d_n = 2^n$$
現在我們來檢查各選項：
- $(1)$ $a_2 = 1$：正確。
- $(2)$ $\langle a_n \rangle$ 數列為 $1, 1, 1, \dots$，是公比為 $1$ 的等比數列：正確。
- $(3)$ $\langle d_n \rangle$ 數列為 $2, 4, 8, \dots$，是公比為 $2$ 的等比數列：正確。
- $(4)$ $\langle b_n \rangle$ 數列為 $1, 3, 7, \dots$，不是等差數列：錯誤。
- $(5)$ $\langle c_n \rangle$ 數列為 $0, 0, 0, \dots$，是公差為 $0$ 的等差數列：正確。\\
故選 $(1)(2)(3)(5)$。