由已知 $a > 1 > b > 0$ 可得： - $(1)$ 因為 $a > 1 \implies -a < -1$。對於小於 $-1$ 的實數，奇數次方中，指數較小者其值較大（例如 $(-2)^7 = -128 > (-2)^9 = -512$），所以 $(-a)^7 > (-a)^9$。正確。 - $(2)$ 因為 $0 < b < 1 \implies b^9 < b^7$。取倒數後得 $\dfrac{1}{b^9} > \dfrac{1}{b^7} \implies b^{-9} > b^{-7}$。正確。 - $(3)$ 因為 $a > b \implies \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$。對數函數 $y = \log_{10} x$ 是遞增函數，所以： $$\log_{10} \dfrac{1}{a} < \log_{10} \dfrac{1}{b}$$ 故選項 $(3)$ 錯誤。 - $(4)$ 根據對數性質，對任意合法的底數，均有 $\log_a 1 = 0$ 且 $\log_b 1 = 0$，故 $\log_a 1 = \log_b 1$。故選項 $(4)$ 錯誤。 - $(5)$ 因為 $a > 1$ 且 $0 < b < 1$，所以 $\log_a b < 0$ 且 $\log_b a < 0$，兩者均為負數且互為倒數。\\ 若取 $a = 2$，$b = 0.25$，則： $$\log_a b = \log_2 0.25 = -2$$ $$\log_b a = \log_{0.25} 2 = -0.5$$ 此時 $-2 \ge -0.5$ 不成立，故選項 $(5)$ 錯誤。\\ 故選 $(1)(2)$。