101指考數學乙多選第6題詳解

1. 因為 $0 < x < 1$，所以 $x^2 < x < \sqrt{x}$。因此 $(1)$ 正確（等號右邊最大）。 2. 令 $t = -\ln x > 0$。比較對數值： \begin{align*} \log_{10}(x^2) &= 2\log_{10} x = 2 \cdot (-\log_{10} 10 \cdot t) < 0, \\ \log_{10} x &= -\log_{10} 10 \cdot t < 0, \\ \log_{10}\sqrt{x} &= \frac{1}{2}\log_{10} x < 0. \end{align*} 因為對數函數在此範圍內為負值，且絕對值越大就越小，所以 $\log_{10}(x^2)$ 最小（最負），$\log_{10}\sqrt{x}$ 最大（最接近 $0$）。 不等號方向為 $\log_{10}(x^2) < \log_{10} x < \log_{10}\sqrt{x}$。 $(2)$ 正確。 3. 以 $2$ 為底時對數值變化更快：$\log_{2}(x^2) = \frac{2\ln x}{\ln 2}$、$\log_{10}(x^2) = \frac{2\ln x}{\ln 10}$。因為 $\ln 2 < \ln 10$，所以 $\frac{1}{\ln 2} > \frac{1}{\ln 10}$，代入負數後 $\log_{2}(x^2) < \log_{10}(x^2)$。$(3)$ 在題目說反了，應為 $\log_{10}(x^2) > \log_2(x^2)$，所以 $(3)$ 正確。 4. $\log_2 x$ 與 $\log_{10} x$ 的關係：$\log_2 x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} 2} \approx \frac{\log_{10} x}{0.3010} \approx 3.32 \log_{10} x$。 因為 $\log_{10} x < 0$（$x < 1$），所以 $\frac{\log_{10} x}{\log_{10} 2} < \log_{10} x$（乘以大於 $1$ 的正數使負數更負）。 即 $\log_2 x < \log_{10} x$。$(4)$ 正確。 故選 $(2)(4)$。