設 $0<x<1$。請選出正確的選項。

101 指考數學乙第 6 題

設 $0

$x^2<\sqrt{x}
$\log_{10}(x^2)<\log_{10}x<\log_{10}\sqrt{x}$
$\log_2(x^2)<\log_{10}(x^2)<\log_2 x$
$\log_{10}(x^2)<\log_2\sqrt{x}<\log_{10}x$

對數大小比較指數對數指數與對數

解題手法代入驗證〔AI 推測〕

答案

$(2)(4)$

0<x<1時：x²<x<√x（次方越大越小）→(1)錯，應為x²<x<√x；log₁₀x<0，log₁₀x²=2log₁₀x<log₁₀x<log₁₀√x=(1/2)log₁₀x→(2)對（均為負數，2log₁₀x<log₁₀x<(1/2)log₁₀x，因log₁₀x<0）；(3)log₂(x²)=2log₂x，log₁₀(x²)=2log₁₀x，需比較2log₂x和2log₁₀x：log₂x<log₁₀x<0（底大值大，但均負，底2比10小，故log₂x更負），所以log₂(x²)<log₁₀(x²)<0，而log₂x∈(log₂(x²),0)，故(3)需更仔細：log₂(x²)=2log₂x，log₁₀(x²)=2log₁₀x，log₂x=log₂x。需log₂(x²)<log₁₀(x²)<log₂x，即2log₂x<2log₁₀x<log₂x。前半：2log₂x<2log₁₀x↔log₂x<log₁₀x，0<x<1時兩者均負，log₂x=lnx/ln2，log₁₀x=lnx/ln10，ln2<ln10故log₂x更負，對。後半：2log₁₀x<log₂x↔2lnx/ln10<lnx/ln2↔2/ln10<1/ln2↔2ln2<ln10↔ln4<ln10，對。故(3)對。(4)log₁₀(x²)=2log₁₀x，log₂√x=(1/2)log₂x，log₁₀x。需2log₁₀x<(1/2)log₂x<log₁₀x。前半：2log₁₀x<(1/2)log₂x↔4log₁₀x<log₂x↔4lnx/ln10<lnx/ln2↔4/ln10<1/ln2↔4ln2<ln10↔ln16<ln10，false（16>10）。等等，讓我重新確認答案。

詳解

取 $x=\dfrac{1}{4}$ 為代表值（$0<\dfrac{1}{4}<1$）： $(1)$：$x^2=\dfrac{1}{16}$，$\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}$，$x=\dfrac{1}{4}$，故 $x^2-2$，故 $\log_2(x^2)<\log_2 x<\log_{10}(x^2)$ 實際上錯誤方向，$(3)$ 錯誤。 $(4)$：$\log_{10}(x^2)\approx-1.204$，$\log_2\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\log_2\dfrac{1}{4}=-1$，$\log_{10}x\approx-0.602$，故 $-1.204<-1<-0.602$，即 $\log_{10}(x^2)<\log_2\sqrt{x}<\log_{10}x$，正確。故選 $(2)(4)$。

題目來源：大學入學考試中心公開試題。

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。