101_07B_q05
101 指考數學乙 第 5 題
📅 101 年 📝 指考數學乙 第 5 題 題型:多選 課綱:99課綱
將 $(x^2+y)^{12}$ 展開集項後,請選出正確的選項。
  1. $x^{24}$ 的係數小於 $x^{10}y^7$ 的係數
  2. $x^{12}y^6$ 的係數小於 $x^{10}y^7$ 的係數
  3. $x^{14}y^5$ 的係數小於 $x^{10}y^7$ 的係數
  4. $x^8y^8$ 的係數小於 $x^{10}y^7$ 的係數
二項式展開排列組合排列、組合與二項式定理
解題手法公式代入〔AI 推測〕
答案

$(1)(4)$

展開 (x²+y)¹²,通項為C(12,k)(x²)^(12-k)y^k=C(12,k)x^(24-2k)y^k。x²⁴→k=0,C(12,0)=1;x¹⁰y⁷→24-2k=10,k=7,C(12,7)=792;(1)1<792對;x¹²y⁶→k=6,C(12,6)=924>792→(2)錯;x¹⁴y⁵→k=5,C(12,5)=792,不小於→(3)錯(相等);x⁸y⁸→k=8,C(12,8)=495<792→(4)對

詳解
展開 $(x^2+y)^{12}$ 的通項為 $$\binom{12}{k}(x^2)^{12-k}y^k=\binom{12}{k}x^{24-2k}y^k.$$ 各項係數($24-2k=$ 對應 $x$ 的次數): - $x^{24}$($k=0$):$\binom{12}{0}=1$ - $x^{10}y^7$($k=7$):$\binom{12}{7}=792$ - $x^{12}y^6$($k=6$):$\binom{12}{6}=924$ - $x^{14}y^5$($k=5$):$\binom{12}{5}=792$ - $x^8y^8$($k=8$):$\binom{12}{8}=495$ $(1)$ $1<792$,正確。$(2)$ $924>792$,錯誤。$(3)$ $792=792$,不小於,錯誤。$(4)$ $495<792$,正確。 故選 $(1)(4)$。

題目來源:大學入學考試中心公開試題。

解析狀態:本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。