102 指考數學乙第 8 題

Question

從玫瑰、菊花、杜鵑、蘭花、山茶、水仙、繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成一列，其中杜鵑及山茶都被選到，且此兩盆花位置相鄰的排法有 ____ 種。

Accepted Answer

答案：$120$
已知杜鵑及山茶均被選中，因此只需從其餘的 $5$ 盆花中再選出 $2$ 盆，選法有 $\binom{5}{2} = 10$ 種。

選出的 $4$ 盆花（包含相鄰的杜鵑、山茶）排成一列：
將杜鵑與山茶視為一個整體（綁在一起），則共有 $3$ 個元素進行排列，排列數為 $3! = 6$ 種。
而杜鵑與山茶內部可互相交換位置，排列數為 $2! = 2$ 種。
因此，對於每一種花卉的選法，相鄰的排列數為 $6 	imes 2 = 12$ 種。

總排法共有 $10 	imes 12 = 120$ 種。