102學測數學單選第6題詳解

設觀測點到熱氣球上升軌跡的水平距離為 $d$，熱氣球每分鐘垂直上升的高度為 $v$。 設上午 10:00 時熱氣球高度為 $h$。 - 上午 10:00（即 $t = 0$）： $$h = d \tan 30^\circ.$$ - 上午 10:10（即 $t = 10$）： $$h + 10v = d \tan 34^\circ \implies 10v = d(\tan 34^\circ - \tan 30^\circ).$$ - 上午 10:30（即 $t = 30$）：設仰角為 $\theta$，此時熱氣球高度為： $$h + 30v = d \tan \theta.$$ 將上述關係代入，消去 $d$ 得： $$\tan \theta = \frac{h + 30v}{d} = \tan 30^\circ + 3(\tan 34^\circ - \tan 30^\circ) = 3\tan 34^\circ - 2\tan 30^\circ.$$ 查表可得 $\tan 34^\circ \approx 0.675$，$\tan 30^\circ \approx 0.577$： $$\tan \theta \approx 3 \times 0.675 - 2 \times 0.577 = 2.025 - 1.154 = 0.871.$$ 再查表比對 $\tan \theta$ 的值： - $\tan 41^\circ \approx 0.869$ - $\tan 42^\circ \approx 0.900$ 因為 $0.871$ 最接近 $0.869$，所以仰角 $\theta$ 最接近 $41^\circ$，故選 $(3)$。