102學測數學單選第5題詳解

設紅、黃、綠三個籃子分別裝有 $r$、$y$、$g$ 顆雞蛋。 依題意： $$r + y + g = 24,$$ 其中 $r \ge 1$，且 $y$、$g$ 均為正奇數。 令 $y = 2a + 1$，$g = 2b + 1$，其中 $a, b \ge 0$ 為非負整數。 代入方程式得： $$r + (2a + 1) + (2b + 1) = 24 \implies r + 2(a + b) = 22.$$ 因為 $2(a + b)$ 是偶數，所以 $r$ 必須是正偶數。 令 $r = 2k$，其中 $k \ge 1$ 為正整數。代入得： $$2k + 2(a + b) = 22 \implies k + a + b = 11.$$ 再令 $k' = k - 1 \ge 0$，則方程式變為： $$k' + a + b = 10,$$ 其中 $k', a, b$ 均為非負整數。 因此，分裝的方法數為方程式 $k' + a + b = 10$ 的非負整數解個數： $$H^{3}_{10} = C^{10 + 3 - 1}_{10} = C^{12}_{10} = \frac{12 \times 11}{2} = 66,$$ 故選 $(2)$。